Дисторсия

[Ernest]

Дисторсия - полевая аберрация, одна из пяти монохроматических Зейделевых оптических аберраций 3-го порядка свойственных центрированным оптическим системам. Дисторсия проявляется в том, что локальное увеличение (масштаб) изображения по полю зрения отличается от увеличения в центре. Как результат, прямые на объекте наблюдения линии видны в поле зрения окуляра (на изображении) искривленными, если они не проходят через центр поля зрения. Дисторсия положительна, если увеличение на краю поля зрения больше, чем в центре - так называемый случай "подушкообразной" дисторсии (квадратные предметы, вроде окон имеют вытянутые как у подушки углы). Дисторсия отрицательна, если увеличение по мере переходя к краю поля зрения уменьшается - случай так называемой "бочкообразной" дисторсии (квадратные предметы изображаются несколько округлыми, как бочонки).

distorsion.JPG (24.01 КБ) 13524 просмотра

Дисторсия третьего порядка не приводит к потере резкости или контраста, но искажает форму объекта примерно пропорционально третьей степени удаления от центра поля зрения.

Дисторсия особенно вредна и требует учета при измерениях между частями изображения (например, по фотографиям), когда требуется получить точное представление о координатах изображенных объектов. Например, при аэрофотосъемке или фотограмметрии. Оптические объективы и окуляры свободные от дисторсии называются ортоскопическими ("прямо- или правильновидящими").

В визуальных астрономических наблюдениях дисторсия мало мешает - небо свободно от прямых линий и небольшие искажения формы астрономических объектов просто незаметны. Но при наземных наблюдениях дисторсия может приводить к искривлению прямых вроде линии горизонта или построек, что делает ее проявления заметными.

Основным источником дисторсии в астрономических приборах являются его широкоугольные компоненты - окуляры и т.п. узлы.

Любопытно, что в случае сверхширокоугольных объективов, у которых освещенность кадра в сторону от центра падает согласно закону косинуса в четвертой степени, отрицательная дисторсия даже может оказаться полезной поскольку несколько компенсирует падение освещенности к краю поля зрения.

Дисторсия обычно измеряется в процентном отношении:

d% = dy'/y_o'*100% = (y'-y_o')/y_o'*100% = (y'/y_o' -1)*100%

где dy' - приращение размера изображения по сравнению с идеальным,
y_o' - идеальная величина изображения,
y' - реальный размер изображения.
Заметим, что идеальным размер изображения (от центра поля зрения) равен

y' = v_o*y

где v_o - параксиальное увеличение оптики,
y - размер предмета.
То есть с учетом дисторсии размер изображения y' (от оси - центра поля зрения - до интересующей точки) связан с соответствующим размером предмета следующим образом:

y' = v_o(1 + d%/100%)*y

Отметим один момент - что такое увеличение и размер предмета/изображения? Приведенные формулы останутся без изменения, если в качестве меры размера "удаленного" предмета принять его угловой размер (радианы - отношение длины дуги к радиусу дуги), а "близкого" - линейные (ну, например, миллиметры). Рассмотрим вот такую табличку сочетаний разных типов предметов и изображений:

Тип предмета	Тип изображения	Пример прибора	Смыл увеличения
Близкий	Близкое	Проектор	Линейное увеличение
Удаленный	Удаленное	Телескоп	Угловое увеличение
Удаленный	Близкое	Фотообъектив	Фокусное расстояние
Близкий	Удаленное	Окуляр	Обратное фокусное расстояние

Стоит отметить, что вне зоны параксиальной оптики (малые полевые и апертурные углы) мера размера предмета/изображения в зависимости от области применения может был тангенсная (тангенс угла), угловая (радианы, градусы), синусная (синус угла) и даже более сложной. Соответственно можно различать тангенсную дисторсию, угловую, синусную и т.д.

---

Назад к оглавлению статей

[Ernest]

А вот есть еще какая-то "угловая дисторсия"...

Для того, чтобы оценить насколько искажается прямоугольная сетка (например, это важно при архитектурной фотографии) дисторсию выражают в линейной или тангенсной мере:
y' = Г·(100% + D_tg(y))·y/100%
tg(w') = Г·(100% + D_tg(w))·tg(w)/100%
где
Г - параксиальное увеличение системы,
y, мм - отстояние точки предмета для которой замеряют дисторсию от оптической оси (центра изображаемой сцены),
y', мм - отстояние точки изображения в которой замеряют дисторсию от оптической оси (центра изображения),
D_tg(y), % - функция зависимости дисторсии от y,
w, угловая мера - угол между оптической осью объектива и направлением на изображаемую точку объекта,
w', угловая мера - угол между оптической осью объектива и направлением на изображенную точку объекта (на кадре),
D_tg(w), % - функция зависимости дисторсии от w

Однако, в ряде приложений более естественным является выражение дисторсии в угловой...
w' = Г·(100% + D_w(w))·w/100%
...и даже синусной мере:
sin(w') = Г·(100% + D_sin(w))·sin(w)/100%
где D_w и D_sin - также функции % дисторсии от полевого угла, но выраженные в угловой и синусной мере соответственно.

В принципе, дисторсию любого оптического инструмента можно выразить любым из перечисленных способов: в тангенсной, угловой или синусной мере. Одновременно невозможно обнулить все три типа дисторсии (и даже любые два), расчетчику приходится выбирать в какой мере оптимизировать дисторсию в конкретном оптическом инструменте. В некоторых приложенях изобразительной оптики (как широкоугольные фотообъективы, измерительные окуляры) важнее минимизировать дисторсию выраженную в тангенсной мере (чтобы бороться с искривлением изображений прямых линий). В оптике работающей с глазом (окуляры) следует по возможности уменьшать дисторсию в угловой мере (чтобы угловой размер мелких предметов вроде дисков планет не менялся проходя через поле зрения окуляра). Для некоторых угломерных измерительных инструментах важнее минимизация дисторсии в синусной мере. И так далее.

Можно показать, что при нулевой угловой дисторсии, когда w' = Г·w, синусная дисторсия оптической системы получается отрицательной и с точностью до третьего порядка получает примерно следующее выражение: D_sin = -100%·(Г²-1)·w²/6, а тангенсная, напротив - положительная с примерным значением D_tg = 100%·(Г²-1)·w²/3. Если на одном графике (%/w) отложить все три типа дисторсии, то они расположатся веером касаясь друг-друга в нуле и расходясь с ростом w: синусная - налево (более отрицательная, чем угловая), тангенсная - направо (более положительная, чем угловая).
[align=center]

tg-sin.PNG (3.32 КБ) 10340 просмотров

[/align]

Анаморфоза

Для того, чтобы понять разницу в представлениях дисторсии рассмотрим такое искажением формы изображений предметов, как анаморфоза. Все мы сталкивались с явлением, когда на краю поля зрения форма изображений сравнительно небольших предметов искажается по сравнению с оригиналом вытягиваясь в меридиональном или сагиттальном направлениях (по направлению к центру поля или поперек). Такое различие локальных увеличений по двум взаимно перпендикулярным осям и называется анаморфозой. У края поля зрения небольшой квадратный предмет в зависимости от ориентации изображается в виде ромба или прямоугольника, а круг в виде овала.
[align=center]

anamorfot.PNG (5.69 КБ) 10340 просмотров

[/align]
Интересно оценить степень анаморфозы при минимизации разного выражения дисторсии. Ну, хотя бы для того, чтобы понимать к чему стремиться при выборе окуляров, их расчете и оценке степени искажения.

Рассмотрим наблюдения в телескоп малого предмета круглой формы угловым диаметром q, на угловом расстоянии w от оси в телескоп с параксиальным увеличением Г и дисторсией выраженной в угловой, тангенсной и синусной мере: D_w(w), D_tg(w), D_sin(w).

Под каким углом мы увидим изображение этого кружка в сагиттальном направлении? Опуская несложный вывод, приведу конечную формулу:
q'_s = q·sin(w')/sin(w)
или, заменяя отношение синусов на увеличение и добавку от дисторсии в синусной мере:
q'_s = Г·(1 + D_sin(w)/100%)·q

Несколько сложнее с углом под которым виден этот круг в меридиональном сечении. Надо продифференцировать формулы приведенные выше:
q'_m = Г·(1 + (D_w(w) + w·D'_w(w))/100%)·q
q'_m = Г·cos²(w')·(1 + (D_tg(w)/cos²(w) + tg(w)·D'_tg(w))/100%)·q
q'_m = Г·(1 + (D_sin(w)·cos(w) + sin(w)·D'_sin(w))/100%)·q/cos(w)
где
D'_w(w), D'_tg(w), D'_sin(w) - производные по углу соответствующих функций описывающих дисторсию

Принимая во внимание что при телескопических наблюдениях (малые углы поля зрения w) cos(w) очень близок к единице, а sin(w) к значению угла w получим приближенные формулы:
q'_m = Г·(1 + (D_w(w) + w·D'_w(w))/100%)·q
q'_m = Г·(1 + (D_tg(w) + w·D'_tg(w))/100%)·cos²(w)·q
q'_m = Г·(1 + (D_sin(w) + w·D'_sin(w))/100%)·q/cos(w)

Осталось посчитать коэффициенты анаморфозы A = q'_m/q'_s - относительную степень вытянутости в меридиональном направлении при дисторсии заданной в разных мерах. Получаются такие выражения:
A = (100 + D_w(w) + w·D'_w(w))/(100 + D_sin(w))
или
A = cos²(w)·(100 + D_tg(w) + w·D'_tg(w))/(100 + D_sin(w))
или
A = (100 + D_sin(w) + w·D'_w(w))/(100 + D_sin(w))/cos(w)
Стоит иметь ввиду, что для конкретной оптической системы А получится одним и тем-же, независимо от того какой тип представления дисторсии будет выбран.

Даже самое беглое изучение этих формул приводит нас к следующим выводам:

• Угловой размер изображения малого внеосевого предмета в сагиттальном направлении q'_s...
  • ...лучше всего описывается с использованием дисторсии в синусной форме (формулы выражения через другие типы дисторсий возможны, но будут излишне сложными);
  • ...при нулевой синусной дисторсии будет в точности равен параксиальному (в центре поля зрения).
• Угловой размер изображения малого внеосевого предмета в меридиональном направлении q'_m при нулевой дисторсии...
  • в угловой мере в точности равен параксиальному, то есть не меняется с удалением от центра поля зрения;
  • в тангенсной мере уменьшается с удалением от центра изображения пропорционально квадрату косинуса полевого угла w';
  • в синусной мере увеличивается с удалением от центра изображения обратно пропорционально косинусу полевого угла w';
• При наличие дисторсии степень искажения q'_m зависит не только от полевого угла и значения дисторсии, но и от производной дисторсии по полевому углу. Если кривая дисторсии имеет большую производную у края поля зрения, то при небольшой и даже нулевой дисторсии на краю поля зрения могут иметь место существенные искажения формы мелких предметов.
• Анаморфоза минимальна при нулевой угловой дисторсии, максимальна при нулевой тангенсной дисторсии (плющит вдоль меридионального направления), при нулевой синусной дисторсии искажение формы меньше, чем при обнулении тангенсной дисторсии, и мелкие предметы по мере приближения к краю поля зрения вытягивает вдоль меридиана

Формулы были выведены мной сегодня утром за завтраком и они не гарантированы от шибок.

[Ernest]

Быстрая оценка тангенсной дисторсии

Если вывести изображение прямой линии (провод, край дома, крыши и т.п.) примерно на 70% расстояния от центра поля зрения до края (так, чтобы края этой криволинейной хорды были вписаны в 90-градусный центральный угол), то величина ее прогиба позволит довольно точно оценить значение тангенсной дисторсии (приведенное к краю поля зрения). См. приложенный рисунок и табличку пересчета прогиба (отношение величины стрелки прогиба к длине хорды выраженное в процентной мере) в процент дисторсии.